PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
З двох пунктів одночасно S назустріч один одному з постійними швидкостями вирушають за течією річки пліт (П) і проти течії річки катер (К). На малюнку наведено графіки їхнього руху протягом години з моменту відправлення. Визначте, за скільки хвилин після початку руху пліт прийде до пункту, з якого вирушив катер.
Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.
У правильній чотирикутній піраміді всі ребра дорівнюють 1. Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через середини бічних ребер.
При якому значенні x значення виразів 
і 
рівні?
На малюнку зображено трикутник ABC, у якому ∠ ACB = 32°, ∠ AMN = 107°. Використовуючи дані малюнка, знайдіть градусну міру кута BAC.
На малюнку зображено графіки двох лінійних функцій. Знайдіть абсцису точки перетину графіків.
Розкладіть на множники вираз 
Закон Менделєєва-Клапейрона можна записати у вигляді PV = νRT , де P - тиск (у паскалях), V - об'єм (в м 3 ), ν - кількість речовини (у молях), T - температура (у градусах Кельвіна), а R - Універсальна газова стала, рівна 8,31 Дж/(К⋅моль). Використовуючи цю формулу, знайдіть температуру T (у градусах Кельвіна), якщо ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па, V = 6 м 3 .
Якому з наведених проміжків належить число 
Яке з наступних тверджень є вірним?
I. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої.
ІІ. Якщо сторони одного чотирикутника відповідно дорівнюють сторонам іншого чотирикутника, то такі чотирикутники рівні.
ІІІ. Суміжні кути рівні.
Якому проміжку належить корінь рівняння 
На рисунку зображено графіки функцій
та 
Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
Розв’яжіть нерівність 
Якому проміжку належить значення виразу 
У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об’єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.
Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції ABCD. Довжина більшої основи AO становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи ВС й бічних сторін AB й CD планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін AB, BC й CD цієї кишені, якщо вздовж BC вже встановлено 15 стовпчиків?
До кожного початку речення (1—4) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Пряма 
2. Пряма 
3. Пряма 
4. Пряма 
А є паралельною прямій 
Б не має спільних точок з графіком функції 
В перетинає графік функції 
з абсцисою 
Г є паралельною осі y
Д є бісектрисою І і III координатних чвертей.
Установіть відповідність між тригонометричним виразом (1−4) та його значенням (А−Д).
1. 
2. 
3. 
4. 
А 
Б 
В 
Г 1
Д 0
Довжина сторони ромба ABCD дорівнює 8,
Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).
1. довжина діагоналі АС
2. довжина висоти ромба ABCD
3. відстань від точки А до центра кола, яке вписане в ромб
А 4
Б 
В 8
Г 
Д 
На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якому АВ = 3, АD = 4, АA1 = 2. Увідповідніть початок речення (1−3) із його закінченням (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Відстань від точки С до площини (АА1В1) дорівнює
2. Відстань від точки А до прямої СС1 дорівнює
3. Відстань між площинами (ABC) і (А1В1С1) дорівнює
А 2
Б 3
В 4
Г 5
Д 7
Сім’я за оренду двох велосипедів для батьків та одного велосипеда для дитини заплатила 1200 грн. Вартість оренди одного велосипеда для дорослих в 1,5 раза більша за вартість оренди одного велосипеда для дитини.
1. Визначте вартість (у грн) оренди велосипеда для дитини.
2. Оренда шолома та пари рукавичок становить 15% від вартості оренди велосипеда для дитини. Скільки гривень ця сім’я заплатить за користування трьома шоломами та трьома парами рукавичок?
На рисунку зображено прямокутник АВСD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі ВD. Це коло дотикається сторін ВС та АD й перетинає діагональ ВD у точках К i М. ВК = 8 см, КМ = 10 см.
1. Визначте довжину дiагоналi AC (у см).
2. Визначте периметр прямокутника ABCD (у см).
В прямоугольной системе координат в пространстве заданы точки A(2; 4; −3) и C(2; −1; −2). Известно, что AB = 3AC.
1. Найдите координаты вектора 
В ответе запишите их сумму.
2. Найдите модуль вектора 
В ответе запишите квадрат найденного модуля.
Геометрична прогресія задана умовою b1 = −7, bn + 1 = 3 bn.
1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
2. Знайдіть суму перших 5 її членів.
Уторбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки — однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати m, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукеркуз молочного шоколаду менша за 0,25?
В інструкції з медичного застосування настою лікарської рослини зазначено, що його рекомендовано приймати щоденно упродовж 20 діб. Протягом першої доби пацієнт має випити 370 мл настою, а кожної наступної доби — на одну й ту саму кількість настою менше, ніж попередньої. Останньої доби прийом має становити 85 мл цього лікарського засобу. Яку кількість настою (у мл) вип'є пацієнт за ці 20 діб, якщо дотримуватиметься інструкції?
Обчисліть
.
Розв'яжіть рівняння
. Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їхню суму.
Скількома способами можна переставляти літери слова «театр» так, щоб обидві літери «т» йшли поспіль?
| x | y |
|---|---|
| −1 | |
| 0 | |
| 1 |
Задано функцію
1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).
2. Знайдіть рівняння графіка функції
у його точці з абсцисою
3. Знайдіть похідну f' функції
Визначте нулі функції f' .
4. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .
5. Побудуйте ескіз графіка функції f .
6. Знайдіть площу фігури, обмеженою графіком функції
прямою
віссю Oy і що лежить у першій координатній чверті.
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2. Плоский кут при вершині дорівнює γ.
1. Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут γ.
2. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
3. Знайдіть об'єм піраміди.
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3486) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
Доведіть тотожність
Задано неравенство
1. Решите неравенство при 
2. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство имеет не более одного решения.
сантиметров. Расстояние между серединами крайних отрезков равно сумме длин второго, третьего и половин длин первого и четвертого, получаем: 
см.
Решим его:
и 
Подставляя, получаем:
принадлежит промежутку (−3; −1). 
и 
связаны соотношением: 
.
идет выше графика 
Значит, верная формула это 
Заметим, что при 
функция 
возрастает, поэтому 
откуда площадь основания 
Сторона основания тогда 
а диагональ 
Боковое ребро найдем по теореме Пифагора: 
) и гипотенузе, значит 
Кроме того, BHTC — прямоугольник. Значит, 
м,
м.
м.
метров и на них потребуется 41 столбик. 
пересекается с графиком 
в точке, абсцисса которой — 
Тогда 
Таким образом, ответ — В. 
так как график 
является параболой, ветви которой направлены вверх и вершина которой имеет координаты (0; −1), а график функции 
и 
параллельны, так как они имеют одинаковый угловой коэффициент 
Таким образом, ответ — А. 
откуда найдем угол наклона прямой до положительного направления оси Ox: 
Таким образом, ответ — Д.
находим
гривен и по условию 
см
будет в три раза больше модуля вектора 
. Имеем:
имеем:
так как нам подходят три конфеты из 
лежащих в сумочке. По условию 
Домножая на 
получим 
мл.
и 
. Тогда упростим:
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
то есть 
— касательная горизонтальна.
поймем, что ее корни 
и 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
и при 
и положительна при 
поэтому cама функция убывает при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
— ее точка максимума, а 
— ее точка минимума, 
Ее вторая производная 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка 
Осталось построить график.
Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:
Высоту пирамиды SO найдем по теореме Пифагора:
3) 
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
поэтому 
имеем:
тогда неравенство примет вид 
то можно немного увеличить t и получить другое решение. Значит, 
поэтому 
При меньших a можно взять 
для положительных a и 
для отрицательных a и получить решение, для которого 
