СКЛАДУ ЗНО — математика

Вариант № 991

На малюнку жирними точками показано середньодобову температуру повітря в Бресті щодня з 6 по 19 липня 1981 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – температура в градусах за Цельсієм. Для наочності жирні крапки з'єднані лінією. Визначте на малюнку різницю між найбільшою та найменшою середньодобовими температурами за вказаний період. Відповідь дайте у градусах Цельсія.

А) 8

Б) 10

В) 12

Г) 9

Д) 7

У супермаркеті проходить акція: купуєш три однакові шоколадки «Спокуса» — таку саму четверту супермаркет надає безкоштовно. Ціна кожної такої шоколадки — 35 грн. Покупець має у своєму розпорядженні 220 грн. Яку максимальну кількість шоколадок «Спокуса» він зможе отримати, узявши участь в акції?

А) 5

Б) 6

В) 7

Г) 8

Д) 9

Радіус основи конуса дорівнює 4, його висота — h , а твірна — l. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для h і l.

А) $16 плюс h в квадрате =l в квадрате$

Б) $4 плюс h=l$

В) $16 минус h в квадрате =l в квадрате$

Г) $h в квадрате минус l в квадрате =16$

Д) $8 плюс h в квадрате =l в квадрате$

Знайдіть корінь рівняння $минус 3 плюс 4 левая круглая скобка минус 7 плюс 5x правая круглая скобка = 9x минус 9.$

А) 5

Б) −3

В) −1

Г) 2

Д) 7

Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені ОА та OB, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь OA) утворює кут 40° з напрямком «схід», а друга (промінь OB) — кут 20° з напрямком «південь». Який кут утворюють ці дороги між собою?

А) 90°

Б) 100°

В) 110°

Г) 120°

Д) 130°

Знайдіть абсцису точки, симетричній точці A (6; 8) щодо осі Oy.

А) 6

Б) −8

В) 8

Г) −6

Д) 4

Скоротіть дріб $дробь: числитель: 10 a b в кубе , знаменатель: 5 a в квадрате b конец дроби .$

А) $дробь: числитель: 2b в квадрате , знаменатель: a конец дроби$

Б) $дробь: числитель: b в степени 4 , знаменатель: 2a в кубе конец дроби$

В) $50a в кубе b в степени 4$

Г) $дробь: числитель: 2b в степени 4 , знаменатель: a в кубе конец дроби$

Д) $дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби$

Площа паралелограма $S левая круглая скобка в м в квадрате правая круглая скобка$ можна обчислити за формулою $S = a умножить на b синус альфа$ , де $a, b$ - Сторони паралелограма (в метрах). Користуючись цією формулою, знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони 10 м і 12 м і $синус альфа = 0,5.$

А) 75

Б) 120

В) 60

Г) 45

Д) 80

Оочисліть значення виразу $25 минус 2a минус 2b,$ якщо $a плюс b=6.$

А) 1

Б) 23

В) 21

Г) 13

Д) 19

10.  

Яке з наступних тверджень є вірним?

I. Діагоналі паралелограма рівні.

ІІ. Площа ромба дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

ІІІ. Якщо дві сторони та кут одного трикутника рівні відповідно двом сторонам та куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

А) лише II

Б) лише I

В) лише II та III

Г) лише III

Д) лише I та II

11.  

Скільки всього розв’язків має система рівнянь

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате = минус 4,x в квадрате плюс y в квадрате =4? конец системы .$

А) жодного

Б) один

В) два

Г) три

Д) бiльше трьох

12.  

Яка з наведених функцiй є первiсною для функцiї $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка ?$

А) $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5x в степени 5 конец дроби$

Б) $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x в степени 5 конец дроби$

В) $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x в степени 5 конец дроби$

Г) $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: x в степени 5 конец дроби$

Д) $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3x в кубе конец дроби$

13.  

Розв'яжіть систему нерівностей $система выражений минус x больше минус 3,2x плюс 5 больше 0. конец системы .$

А) $левая круглая скобка минус 2,5; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка 2,5; 3 правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 2,5; 3 правая круглая скобка$

14.  

Знайдіть значення виразу $7 тангенс 13 градусов умножить на тангенс 77 градусов .$

А) −7

Б) 14

В) 7

Г) −14

Д) 1

15.  

Площа паралелограма ABCD дорівнює 132. Точка E — середина сторони AB . Знайдіть площу трикутника CBE .

А) 13

Б) 33

В) 25

Г) 16

Д) 41

16.  

Скільки дощок довжиною 4 м, шириною 20 см і товщиною 30 мм вийде із бруса довжиною 80 дм, що має у перерізі прямокутник розміром 30 см × 40 см?

А) 28

Б) 40

В) 30

Г) 26

Д) 36

21.  

У магазині в продажу є лише музичні диски, диски з науково-популярними фільмами та диски з художніми фільмами. Кількість дисків із науково-популярними фільмами в п'ять разів більша за кількість музичних дисків і вдвічі менша за кількість дисків із художніми фільмами. Загальна кількість дисків у цьому магазині дорівнює 192.

1. Скільки відсотків становить кількість музичних дисків від загальної кількості всіх дисків у магазині?

Відповідь:

2. Визначте кількість дисків із науково-популярними фільмами в цьому магазині.

Відповідь:

22.  

На рисунку зображено прямокутник АВСD та коло із центром у точці О, яка є серединою діагоналі ВD. Це коло дотикається сторін ВС та АD й перетинає діагональ ВD у точках К i М. ВК = 8 см, КМ = 10 см.

1. Визначте довжину дiагоналi AC (у см).

Відповідь:

2. Визначте периметр прямокутника ABCD (у см).

Відповідь:

23.  

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\veca левая круглая скобка 2; минус 9; 3 правая круглая скобка .$

1. Визначте координати вектора $\vecb= минус 2a.$ У відповіді запишіть їхню суму.

Відповідь:

2. Обчисліть скалярний добуток $\veca умножить на \vecb.$

Відповідь:

24.  

В арифметичній прогресії (a_n) відомо, що $a_2 минус a_5=7,8.$

1. Визначте рiзницю d цiєї прогресiї.

Відповідь:

2. Визначте перший член a₁ цiєї прогресiї, якщо її третiй член $a_3= минус 1,8.$

Відповідь:

25.  

Агрофірма закуповує курячі яйця в двох домашніх господарствах. 60% яєць із першого господарства – яйця вищої категорії, а з другого господарства – 70% яєць вищої категорії. Загалом вищу категорію отримує 65% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.

26.  

Велосипедист витратив 2 години на дорогу з міста А до міста В. Мотоцикліст виїхав з міста А на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув у місто В одночасно з велосипедистом . Визначте відстань (у км ) між містами A та B, якщо швидкiсть мотоциклiста на 48 км/год бiльша за швидкiсть велосипедиста. Уважайте, що велосипедист та мотоциклiст рухалися з мiста A до мiста B тiєю самою дорогою зi сталими швидкостями та без зупинок.

27.  

Обчисліть $дробь: числитель: 3\log _515 умножить на \log _59 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 9, знаменатель: \log _59 минус \log _515 конец дроби$ .

28.  

Розв'яжіть рівняння $левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=0$ . У відповідь запишіть суму всіх його дійсних коренів.

29.  

У магазині в наявності є 10 видів тортів та 15 видів пачок печива. Скільки всього є способів вибору в цьому магазині або одного торта, або трьох різних пачок печива для святкового вечора?

30.  

x	y
−1
0
2

Задано функцію $y= x в кубе минус 12x.$

1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (см. тблицу).

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y= x в кубе минус 12x$ із віссю х.

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 12x.$

4. Визначте нулі функції f'.

5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.

6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

31.  

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.

2.  Визначте висоту піраміди.

3.  Знайдіть об'єм піраміди.

32.  

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3512) сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

1.  Намалюйте на малюнку цю піраміду та вкажіть лінійний кут двогранного кута при основі.

2.  Знайдіть цей кут.

33.  

Доведіть тотожність $дробь: числитель: 2 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс синус x косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби = тангенс x плюс 1.$

34.  

Задано уравнение

$дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс a в квадрате минус 4a, знаменатель: x в квадрате минус a конец дроби =0,$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите уравнение при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Решение. Решим уравнение при $a=0:$

$дробь: числитель: x в квадрате минус 2x, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0 равносильно x в квадрате минус 2x=0 равносильно совокупность выражений x=0,x=2. конец совокупности .$

Вернемся ко второму пункту. В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 5,$ все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу $a=x в квадрате ,$ точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставляя $a=x в квадрате$ в уравнение $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 5$ и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2; 4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$   — точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.

Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из 5 ,$ $a не равно 0,$ $a не равно 1,$ $a не равно 4.$

Ответ:

1)   $левая фигурная скобка 0;2 правая фигурная скобка ;$

2)   $a принадлежит левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка .$

Приведем решение Тофига Алиева.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если числитель имеет два различных корня, а знаменатель не равен 0. Числитель имеет два различных корня, если дискриминант положителен:

$левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a правая круглая скобка больше 0 равносильно 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Исключим значения параметра а, при которых знаменатель обращается в 0. Подставив в числитель $a=x в квадрате ,$ получим

$x в квадрате минус 2x плюс x в степени 4 минус 4x в квадрате =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка .$

Следовательно, числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль при x  =  0, x  =  −1 и x  =  2 при условии $a=x в квадрате ,$ или a  =  0, a  =  1 и a  =  4, и эти значения параметра а должны быть исключены.

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда $2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше a меньше 2 плюс корень из 5 ,$ $a не равно 0,$ $a не равно 1,$ $a не равно 4.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1421	2
2	1054	4
3	1095	1
4	1433	4
5	954	3
6	2089	4
7	851	1
8	1439	3
9	891	4
10	1467	1
11	1000	3
12	1269	5
13	3174	5
14	1479	3
15	1493	2
16	1498	2
17	3243	ВДГ
18	3246	ВБА
19	1179	Б В Г
20	704	Г Д В Б
21	644	6,25 60
22	1182	26 68
23	1247	8 -188
24	1149	-2,6 3,4
25	3335	0,5
26	1352	32
27	3366	2
28	3300	0,5
29	777	465
30	3510	1) см. рис.; 2) $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента тангенс альфа ;$ 3) $дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби тангенс альфа .$
31	3513	1) см. рис.; 2) $арктангенс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента тангенс альфа правая круглая скобка .$
32	3557	1)   $левая фигурная скобка 0;2 правая фигурная скобка ;$ 2)   $a принадлежит левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка .$

Ключ