З двох пунктів од­но­час­но S на­зустріч один од­но­му з постійними швид­ко­стя­ми ви­ру­ша­ють за течією річки пліт (П) і проти течії річки катер (К). На ма­люн­ку на­ве­де­но графіки їхньо­го руху про­тя­гом го­ди­ни з мо­мен­ту відправ­лен­ня. Визна­чте, за скільки хви­лин після по­чат­ку руху пліт прий­де до пунк­ту, з якого ви­ру­шив катер.

Відрізок, до­в­жи­на якого дорівнює 60 см, розділений точ­ка­ми на чо­ти­ри рівні відрізки. Визна­чте відстань між се­ре­ди­на­ми от­ри­ма­них крайніх відрізків.

Площа ос­но­ви ко­ну­са дорівнює 45. Пло­щи­на, па­ра­лель­на пло­щині ос­но­ви ко­ну­са, ділить його ви­со­ту на відрізки за­в­до­вж­ки 4 і 8, раху­ю­чи вер­ши­ни. Знайдіть площу перерізу ко­ну­са цією пло­щи­ною.

Знайдіть корінь рівнян­ня

Усі зоб­ра­жені на ри­сун­ку прямі ле­жать в одній пло­щині, прямі m і n є па­ра­лель­ни­ми. Визна­чте гра­дус­ну міру кута а.

На ри­сун­ку зоб­ра­же­но графік функції визна­че­ної на відрізку [−7; 7]. Ко­ри­сту­ю­чись ри­сун­ком, знайдіть f(2).

Роз­кладіть на множ­ни­ки вираз

Закон Мен­делєєва-Кла­пей­ро­на можна за­пи­са­ти у вигляді PV = νRT , де P - тиск (у пас­ка­лях), V - об'єм (в м ³ ), ν - кількість ре­чо­ви­ни (у молях), T - тем­пе­ра­ту­ра (у гра­ду­сах Кельвіна), а R - Універ­саль­на га­зо­ва стала, рівна 8,31 Дж/(К⋅моль). Ви­ко­ри­сто­ву­ю­чи цю фор­му­лу, знайдіть тем­пе­ра­ту­ру T (у гра­ду­сах Кельвіна), якщо ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па, V = 6 м ³ .

Ре­зуль­тат спро­щен­ня ви­ра­зу має вид:

Які з на­ве­де­них твер­джень є пра­виль­ни­ми?

I. Через точку, що не ле­жить на даній прямій можна про­ве­сти не більше однієї прямої, па­ра­лель­ної даної.

II. Через точку, що ле­жить на даній прямій можна про­ве­сти нескінчен­ну безліч пря­мих, пер­пен­ди­ку­ляр­них даної прямої.

III. Кожен відрізок має певну до­в­жи­ну, більшу нуля. До­в­жи­на відрізка дорівнює сумі до­в­жин ча­стин, на які він роз­би­вається будь-який його точ­кою.

Розв’яжіть рівнян­ня

Знайдіть похідну функції

Розв’яжіть нерівність

Якому проміжку на­ле­жить зна­чен­ня ви­ра­зу

У пря­мо­кут­но­му па­ра­ле­лепіпеді відомо що Знайдіть до­в­жи­ну ребра

Заїзна ки­ше­ня для ви­сад­ки па­са­жирів гро­мадсь­ко­го (марш­рут­но­го) транс­пор­ту й таксі, об­ла­што­ва­на перед вхо­дом у су­пер­мар­кет, має форму рівнобічної тра­пеції ABCD. До­в­жи­на більшої ос­но­ви AO ста­но­вить 38 м, ши­ри­на кишені дорівнює 5 м. Уз­до­вж меншої ос­но­ви ВС й бічних сторін AB й CD пла­ну­ють уста­но­ви­ти запобіжні стовп­чи­ки на відстані 1 м один від од­но­го. Ча­сти­ну з них уже вста­но­ви­ли (див. ри­су­нок). Скільки всьо­го стовп­чиків має бути за пла­ном уз­до­вж сторін AB, BC й CD цієї кишені, якщо вздо­вж BC вже вста­нов­ле­но 15 стовп­чиків?

До кож­но­го по­чат­ку ре­чен­ня (1—4) доберіть його закінчен­ня (А—Д) так, щоб утво­ри­ло­ся пра­виль­не твер­джен­ня.

Уста­новіть відповідність між три­го­но­мет­рич­ним ви­ра­зом (1−4) та його зна­чен­ням (А−Д).

До­в­жи­на сто­ро­ни ромба ABCD дорівнює 8,

Уста­новіть відповідність між ве­ли­чи­ною (1–3) та її зна­чен­ням (А–Д).

На ри­сун­ку зоб­ра­же­но пря­мо­кут­ний па­ра­ле­лепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, у якому АВ = 3, АD = 4, АA₁ = 2. Увідповідніть по­ча­ток ре­чен­ня (1−3) із його закінчен­ням (А−Д) так, щоб утво­ри­ло­ся пра­виль­не твер­джен­ня.

Сім’я за орен­ду двох ве­ло­си­педів для батьків та од­но­го ве­ло­си­пе­да для ди­ти­ни за­пла­ти­ла 1200 грн. Вартість орен­ди од­но­го ве­ло­си­пе­да для до­рос­лих в 1,5 раза більша за вартість орен­ди од­но­го ве­ло­си­пе­да для ди­ти­ни.

1. Визна­чте вартість (у грн) орен­ди ве­ло­си­пе­да для ди­ти­ни.

Відповідь:

2. Орен­да шо­ло­ма та пари ру­ка­ви­чок ста­но­вить 15% від вар­тості орен­ди ве­ло­си­пе­да для ди­ти­ни. Скільки гри­вень ця сім’я за­пла­тить за ко­ри­сту­ван­ня трьо­ма шо­ло­ма­ми та трьо­ма па­ра­ми ру­ка­ви­чок?

Відповідь:

На ри­сун­ку зоб­ра­же­но пря­мо­кут­ник АВСD та коло із цен­тром у точці О, яка є се­ре­ди­ною діаго­налі ВD. Це коло до­ти­кається сторін ВС та АD й пе­ре­ти­нає діаго­наль ВD у точ­ках К i М. ВК = 8 см, КМ = 10 см.

1. Визна­чте до­в­жи­ну дiаго­налi AC (у см).

Відповідь:

2. Визна­чте пе­ри­метр пря­мо­кут­ни­ка ABCD (у см).

Відповідь:

В пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат в про­стран­стве за­да­ны точки A(2; 4; −3) и C(2; −1; −2). Из­вест­но, что AB  =  3AC.

1. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты век­то­ра В от­ве­те за­пи­ши­те их сумму.

Відповідь:

2. Най­ди­те мо­дуль век­то­ра В от­ве­те за­пи­ши­те квад­рат най­ден­но­го мо­ду­ля.

Відповідь:

Гео­мет­рич­на про­гресія за­да­на умо­вою b₁ = −7, b_{n + 1} = 3 b_n.

1.  Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Відповідь:

2.  Знайдіть суму пер­ших 5 її членів.

Відповідь:

Утор­бинці ле­жать 3 цу­кер­ки з мо­лоч­но­го шо­ко­ла­ду та m цу­ке­рок з чор­но­го шо­ко­ла­ду. Усі цу­кер­ки — од­на­ко­вої форми й розміру. Якого най­мен­шо­го зна­чен­ня може на­бу­ва­ти m, якщо ймовірність нав­ман­ня ви­тяг­ну­ти з тор­бин­ки цу­кер­куз мо­лоч­но­го шо­ко­ла­ду менша за 0,25?

В інструкції з ме­дич­но­го за­сто­су­ван­ня на­стою лікарсь­кої рос­ли­ни за­зна­че­но, що його ре­ко­мен­до­ва­но прий­ма­ти що­ден­но упро­до­вж 20 діб. Про­тя­гом першої доби пацієнт має ви­пи­ти 370 мл на­стою, а кожної на­ступ­ної доби — на одну й ту саму кількість на­стою менше, ніж по­пе­ред­ньої. Остан­ньої доби прий­ом має ста­но­ви­ти 85 мл цього лікарсь­ко­го за­со­бу. Яку кількість на­стою (у мл) вип'є пацієнт за ці 20 діб, якщо до­три­му­ва­ти­меть­ся інструкції?

Об­числіть .

Розв'яжіть рівнян­ня . Якщо рівнян­ня має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівнян­ня має кілька коренів, у відповідь запишіть їхню суму.

Скілько­ма спо­со­ба­ми можна пе­ре­став­ля­ти літери слова «театр» так, щоб обидві літери «т» йшли поспіль?

За­да­но функцію

1. Для на­ве­де­них у таб­лиці зна­чень ар­гу­ментів х визна­чте відповідні їм зна­чен­ня у (див. таб­ли­цю).

2. Знайдіть рівнян­ня графіка функції у його точці з абс­ци­сою

3. Знайдіть похідну f' функції Визна­чте нулі функції f' .

4. Визна­чте проміжки зрос­тан­ня та спа­дан­ня, точки екс­тре­му­му функції f .

5. По­бу­дуй­те ескіз графіка функції f .

6. Знайдіть площу фігури, об­ме­же­ною графіком функції пря­мою віссю Oy і що ле­жить у першій ко­ор­ди­натній чверті.

Апо­фе­ма пра­виль­ної три­кут­ної піраміди дорівнює 2. Плос­кий кут при вер­шині дорівнює γ.

а) Зоб­разіть на ма­люн­ку цю піраміду та кут γ.

б) Знайдіть площу бічної по­верхні піраміди.

в) Знайдіть об'єм піраміди.

Відповідно до умови за­в­дан­ня 31 (№ 3532) ви­со­та пра­виль­ної чо­ти­ри­кут­ної піраміди дорівнює 3. Бічні грані на­хи­лені до ос­но­ви під кутом β.

1.  Зоб­разіть на ма­люн­ку цю піраміду і по­бу­дуй­те кут між бо­ко­вим реб­ром та ос­но­вою.

2.  Знайдіть цей кут.

Доведіть то­тожність

За­да­но не­ра­вен­ство

1.  Ре­ши­те не­ра­вен­ство при

2.  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство имеет не более од­но­го ре­ше­ния.