СКЛАДУ ЗНО — математика

Вариант № 525

На діаграмі відображено обсяг видобутку алмазів (у млн карат) у 2006 році в п’яти країнах Африки. Користуючись діаграмою, визначте країни Африки, у кожній з яких маса алмазів, видобутих у 2006 році, більш ніж удвічі перевищувала масу алмазів, видобутих у цьому році в Анголі.

А) лише в ДРК

Б) лише в ПАР i в ДРК

В) лише в Ботсванi

Г) лише в ПАР, у ДРК і в Ботсвані

Д) лише в ДРК і в Ботсвані

Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.

А) 36 см

Б) 40 см

В) 45 см

Г) 48 см

Д) 50 см

Площина, що проходить через три точки A, B і C, розбиває правильну трикутну призму на два багатогранники. Скільки вершин багатогранника, у якого менше граней?

А) 10

Б) 6

В) 11

Г) 7

Д) 9

Розв'яжіть рівняння $10 левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка = 7.$

А) 9,7

Б) 8,2

В) 6,9

Г) 8,7

Д) 9,1

На рисунку зображено трапецію ABCD. Визначте градусну міру кута BCD, якщо $\angle ADB=35 градусов,$ $\angle BDC= 20°.$

А) 125°

Б) 165°

В) 155°

Г) 145°

Д) 140°

На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом $T=2 Пи ,$ яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.

А) $левая круглая скобка 1;2 Пи правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка 3 Пи ;0 правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка минус 1;5 Пи правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка 5 Пи ;0 правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 5 Пи ; минус 1 правая круглая скобка$

Розкладіть на множники вираз $25 x в квадрате минус 1.$

А) $левая круглая скобка 25x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

В) $левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 1 правая круглая скобка$

Г) $5 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Д) $25 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Укажіть формулу для обчислення площі S бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює l, а висота — h.

А) $S= дробь: числитель: l, знаменатель: h конец дроби$

Б) $S=2lh$

В) $S=lh в квадрате$

Г) S=lh

Д) $S= дробь: числитель: h, знаменатель: l конец дроби$

Обчисліть значення виразу $3 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка ,$ якщо $a=0,7.$

А) −0,9

Б) 1,1

В) 5,1

Г) −0,6

Д) 2,7

10.  

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.

II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

А) лише I та II

Б) лише I та III

В) лише II

Г) лише II та III

Д) I, II та III

11.  

Розв’яжіть систему рівнянь

$система выражений 2x плюс 5y=5,x минус 2y=7. конец системы .$

Для одержаного розв’язку (x₀; y₀) системи обчисліть суму x₀ + y₀.

А) 2

Б) 12

В) 3

Г) 5

Д) 4

12.  

Укажіть похідну функції $y= синус x минус косинус x плюс 1.$

А) $y'= косинус x плюс синус x плюс 1$

Б) $y'= косинус x минус синус x$

В) $y'= минус косинус x минус синус x плюс x$

Г) $y'= минус косинус x минус синус x$

Д) $y'= косинус x плюс синус x$

13.  

Розв’яжіть систему нерівностей: $система выражений 4x плюс 2 больше или равно 5x плюс 3,2 минус 3x меньше 7 минус 2x. конец системы .$

А) $левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка минус 5; минус 1 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая круглая скобка$

Г) $левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 5; 1 правая квадратная скобка$

14.  

Якому проміжку належить значення виразу $синус 415 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ?$

А) $левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

В) $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка$

15.  

У правильній шестикутній піраміді бічне ребро дорівнює 17, а сторона основи дорівнює 8. Знайдіть висоту піраміди.

А) 15

Б) 30

В) 16

Г) 50

Д) 5

16.  

На рисунку зображено осьовий переріз світлодіодної лампи. Активна поверхня цієї лампи, через яку відбувається випромінювання світла, є тілом обертання, утвореним обертанням відрізка AB та чверті кола BC навколо осі l. Використовуючи зазначені на рисунку дані, обчисліть площу активної поверхні світлодіодної лампи. Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А) 39 см²

Б) 42 см²

В) 45 см²

Г) 48 см²

Д) 51 см²

21.  

Мобільний телефон у магазині коштує 2260 грн. Покупець не має можливості заплатити всю суму повністю, тому купує цей телефон у розстрочку. За умовою договору він має сплачувати 10% від його ціни кожен місяць протягом 12 місяців з моменту купівлі.

1. Визначте щомісячний платіж за куплений у розстрочку телефон (у грн).

Відповідь:

2. Знайдіть суму 12 щомісячних платежів. На скільки гривень ця сума перевищує заявлену магазином ціну телефона (2260 грн) на момент купівлі.

Відповідь:

22.  

У паралелограмі АВСD з вершини тупого кута В проведено висоти ВK та ВМ (див. рисунок). ВK = 16 см, AK = 12 см, ВМ = 24 см.

1. Визначте довжину сторони АВ (у см).

Відповідь:

2. Обчисліть площу (у см²) паралелограма АBСD.

Відповідь:

23.  

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\overrightarrowAB левая круглая скобка минус 3; 8; 1 правая круглая скобка$ і точку $B левая круглая скобка 7; минус 2; 0 правая круглая скобка ,$ точка О — початок координат.

1. Визначте ординату y точки $A левая круглая скобка x; y; z правая круглая скобка .$

Відповідь:

2. Обчисліть скалярний добуток $\overrightarrowOA умножить на \overrightarrowAB.$

Відповідь:

24.  

Другий член арифметичної прогресії (a_n) на 7,2 більший за її шостий член.

1. Визначте різницю d цієї прогресії.

Відповідь:

2. Визначте перший член a₁ цiєї прогресії, якщо $a_4=0,7.$

Відповідь:

25.  

Уторбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки — однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати m, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукеркуз молочного шоколаду менша за 0,25?

26.  

В інструкції з медичного застосування настою лікарської рослини зазначено, що його рекомендовано приймати щоденно упродовж 20 діб. Протягом першої доби пацієнт має випити 370 мл настою, а кожної наступної доби — на одну й ту саму кількість настою менше, ніж попередньої. Останньої доби прийом має становити 85 мл цього лікарського засобу. Яку кількість настою (у мл) вип'є пацієнт за ці 20 діб, якщо дотримуватиметься інструкції?

27.  

Обчисліть значення виразу

$дробь: числитель: a в квадрате минус 6 a b плюс 9 b в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 4 a b конец дроби : дробь: числитель: 5 a минус 15 b, знаменатель: a плюс 4 b конец дроби$

при $a=0,1$ i $b=3,7.$

28.  

Розв’яжіть рівняння $x в степени 4 минус x в квадрате минус 20=0.$ У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

29.  

Марійка зірвала на клумбі 9 нарцисів та 4 тюльпани. Скільки всього існує способів вибору із цих квітів 3 нарцисів та 2 тюльпанів для букета?

30.  

Задано функцію $y= x в кубе минус 3x.$

x	y
0
−1
2

1. Для наведених у таблиці значень аргументи х визначте відповідні їм значення у (див. таблиця).

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x в кубе минус 3x$ із віссю x.

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе минус 3x.$

4. Визначте нулі функції f'.

5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.

6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

31.  

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.

2.  Знайдіть бічне ребро піраміди.

3.  Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

32.  

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3518) сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.

а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.

б) Знайдіть цей кут.

Решение. Сразу заметим, что это та же пирамида, что в предыдущей задаче. Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани ASB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK  =  KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того, $\angleSKC=\angleSKA,$ то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC  — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.

Прямая SB перпендикулярна прямым двум пересекающимся прямым AK и СК, лежащим в плоскости AKC, а потому перпендикулярна и всей этой плоскости. Следовательно, прямая SB перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AKC, в частности, прямой ОК. Таким образом, отрезок OK  — высота прямоугольного треугольника SOB. Найдём его площадь двумя способами:

$S_SOB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SB умножить на OK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SO умножить на OB.$

Найдём также площадь боковой грани:

$S_ASB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SB умножить на AK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SL умножить на AB.$

Выразим из этих формул длину бокового ребра SB, получим:

$SB= дробь: числитель: SO умножить на OB, знаменатель: OK конец дроби ,$

$SB= дробь: числитель: SL умножить на AB, знаменатель: AK конец дроби .$

Следовательно,

$дробь: числитель: SO умножить на OB, знаменатель: OK конец дроби = дробь: числитель: SL умножить на AB, знаменатель: AK конец дроби равносильно дробь: числитель: OK, знаменатель: AK конец дроби = дробь: числитель: OB, знаменатель: AB конец дроби умножить на дробь: числитель: SO, знаменатель: SL конец дроби равносильно косинус \angleOKA= косинус \angleOBA умножить на синус \angleOLS.$ $дробь: числитель: SO умножить на OB, знаменатель: OK конец дроби = дробь: числитель: SL умножить на AB, знаменатель: AK конец дроби равносильно дробь: числитель: OK, знаменатель: AK конец дроби = дробь: числитель: OB, знаменатель: AB конец дроби умножить на дробь: числитель: SO, знаменатель: SL конец дроби равносильно$
$равносильно косинус \angleOKA= косинус \angleOBA умножить на синус \angleOLS.$

Таким образом,

$косинус дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка равносильно дельта =2 арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка .$ $косинус дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2 арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $2 арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка .$

33.  

Доведіть тотожність

$дробь: числитель: 2a в квадрате плюс 5a минус 3, знаменатель: a плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус 2a, знаменатель: 2 косинус 240 градусов конец дроби .$

34.  

Задано систему рівнянь

$система выражений ax в квадрате плюс 3ax плюс 4 в степени левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: y конец аргумента правая круглая скобка =8,x плюс 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: y конец аргумента правая круглая скобка =1, конец системы .$

де x, y — змінні, a — довільна стала.

1. Розв’яжіть систему, якщо $a = 0.$

2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень a.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	755	5
2	682	3
3	1908	2
4	1436	1
5	1297	1
6	935	5
7	640	3
8	1198	4
9	1089	1
10	1267	4
11	1071	5
12	836	5
13	3075	2
14	643	4
15	2524	1
16	666	4
17	669	Д В А Б
18	1505	Д Г В А
19	1213	В Б А
20	738	Б Г Д А
21	671	226 452
22	1216	20 480
23	1281	-10 -111
24	1183	-1,8 6,1
25	845	10
26	673	4550
27	675	-22
28	1286	-5
29	812	504
30	1288	1) якщо $x=0,$ то $y=0;$ $x= минус 1,$ то $y=2;$ $x=2,$ то $y=2;$ 2) $левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка ;$ 3) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 x в квадрате минус 3;$ 4) $x=1$ и $x= минус 1;$ 5) Проміжки зростання: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка ,$ $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ проміжок спадання: [−1; 1]; точки екстремуму: $x_\max = минус 1;$ $x_\min=1;$ екстремуми: $f_\max =2;$ $f_\min = минус 2;$ 6) см. рис.
31	3516	1) см. рис.; 2) $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 минус косинус в квадрате альфа конец аргумента , знаменатель: косинус альфа конец дроби ;$ 3) $16 плюс дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 2 минус косинус в квадрате альфа конец аргумента , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$
32	3519	1) см. рис.; 2) $2 арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус бета правая круглая скобка .$
33	1292	1) (−3; 0,25); 2) якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ то розв'язком системи є (−3; 0,25); якщо $a принадлежит левая квадратная скобка минус 2; 0 правая круглая скобка ,$ то розв'язками системи є (−3; 0,25) та $левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби ; логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 2 a конец дроби правая круглая скобка .$

Ключ