Відповідно до умови завдання 31 (№ 3518) сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
Сразу заметим, что это та же пирамида, что в предыдущей задаче. Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани ASB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK = KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того,
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
Прямая SB перпендикулярна прямым двум пересекающимся прямым AK и СК, лежащим в плоскости AKC, а потому перпендикулярна и всей этой плоскости. Следовательно, прямая SB перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AKC, в частности, прямой ОК. Таким образом, отрезок OK — высота прямоугольного треугольника SOB. Найдём его площадь двумя способами:
Ответ: 1) см. рис.; 2) 
Выразим апофему SL пирамиды из прямоугольного треугольника SOL, получим:
3) 