Каталог заданий.
Системи з параметром
Системи з параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задано систему рівнянь
де х, у — змінні, a — стала.
1. Розв’яжіть цю систему, якщо 
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
первое уравнение принимает вид 
Итак, 
Теперь решим систему при прочих значениях a. Второе уравнение можно переписать в виде 
Сразу отметим, что 
принимает все значения из промежутка 
поэтому 
также 
и 
Кроме того 
или 
Если 
то 
Если 
причем 
то либо 
либо 
и 
то есть 
При таких a получаем 
о котором мы позаботились. Есть два отдельных случая. Если 
то 
и 
— то есть получается одно решение, а не два. Если 
то есть 
эти решения совпадают с уже найденными для 
ответы 
При 
ответы 
(случай 
ответы 
2
Задано систему рівнянь
де x, y — змінні, a — довільна стала.
1. Розв’яжіть систему, якщо 
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень a.
принимает все значения из промежутка 
и 
Используем равенство 
в первом уравнении. Получим
или 
Если 
то 
причем 
то 
откуда 
то есть 
При таких a получаем 
Это выражение определено, поскольку это гарантировано условием 
о котором мы позаботились. Есть еще отдельный случай, когда 
то есть 
В этом случае найденные решения совпадают.
то розв'язком системи є (−3; 0,25); якщо 
то розв'язками системи є (−3; 0,25) 
3
(*) должно иметь корни, ровно два из которых удовлетворяют неравенству 
Тогда уравнение (*) принимает вид 
Это уравнение имеет два различных положительных корня 
при 
Таким образом, 
откуда 
Так как 
а 
то 
а 
при 
выполнено для всех 
поскольку левая часть неравенства больше 1, а правая меньше 1. Таким образом, система имеет ровно два решения при 
откуда 
4
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не является решением исходной системы.
получаем:
получаем 
или 
то есть a = −3.
является корнем первого уравнения системы, то решениями системы являются две пары чисел 
и 
Значит, система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения положителен, и 
не является корнем первого уравнения. Получаем:
Пройти тестирование по этим заданиям