СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 32 № 3517 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Стереометрія. 2 частина

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3516) сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.

б) Знайдіть цей кут.

Решение. Сразу заметим, что это та же пирамида, что в предыдущей задаче. Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани ASB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK  =  KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того, $\angleSKC=\angleSKA,$ то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC  — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.

Проведём радиус описанной вокруг основания окружности OB и отрезок OK  — высоту, медиану и биссектрису треугольника AKС. Найдём длину OK из прямоугольных треугольников OKB и KOA, получим:

$KO=OB синус \angleOBK=OB синус альфа ,$

$KO=OA\ctg\angleOKA=OA\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом,

$OB синус альфа =OA\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби равносильно \ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: OB, знаменатель: OA конец дроби синус альфа равносильно \ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = синус альфа равносильно$
$равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби =\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка .$ $OB синус альфа =OA\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно \ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: OB, знаменатель: OA конец дроби синус альфа равносильно \ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = синус альфа равносильно$
$равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби =\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка .$

3517

1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3517	1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка синус альфа правая круглая скобка .$