Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут β.
б) Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
в) Знайдіть об'єм піраміди.
Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О — центр основания. Проведём апофему SL боковой грани SBC и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и BC следует взаимная перпендикулярность прямых SL и BC. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBC и ABC, а потому угол SLO — линейный угол двугранного угла при основании. Это и есть угол β.
Выразим SL и OL из прямоугольного треугольника SOL , получим:
откуда 
Объем пирамиды равен
Ответ: 1) см. рис.; 2) 
3) 
откуда
