Відповідно до умови завдання 31 (№ 3486) сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні грані нахилені до основи під кутом β.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі.
б) Знайдіть цей кут.
Решение. 
Сразу заметим, что это та же самая пирамида, что в предыдущей задаче. Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани SAB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK = KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того 
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
В плоскости грани ASC проведём апофему SM, в треугольнике SBM проведём высоту BN и выразим площадь этого треугольника двумя способами:
В правильном треугольнике 
поэтому
Таким образом,
Осталось заметить, что боковые грани правильной пирамиды равны, а потому и площади их равны, откуда следует, что
Ответ: 1) см. рис.; 2) 
Ответ: 1) см. рис.; 2)
3487
1) см. рис.; 2)
PDF-версии: 
