СКЛАДУ ЗНО: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 B2 № 2515 Добавить в вариант

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 22, а тангенс кута між бічною гранню і площиною основи дорівнює $корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$ Знайти бік основи піраміди.

Спрятать решение

Решение.

Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R — длина половины диагонали. В силу связи основных углов в правильной пирамиде:

$тангенс альфа = тангенс бета / корень из 2 = корень из 7 ,$

поэтому

$a = корень из 2 R= корень из 2 умножить на l косинус альфа .$

Вычислим $косинус альфа$

$косинус альфа = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: тангенс в квадрате альфа плюс 1 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби .$

Получаем, что

$a = корень из 2 умножить на l косинус альфа = корень из 2 умножить на 22 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 8 конец дроби = 11.$

Ответ: 11.

Примечание.

Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде.

Пусть h — высота пирамиды, a — сторона основания пирамиды, тогда диагональ основания пирамиды равна $a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

$тангенс альфа = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби$ ; $тангенс бета = дробь: числитель: h, знаменатель: 0,5a конец дроби ,$ откуда $тангенс альфа = дробь: числитель: тангенс бета , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Методы геометрии: Использование тригонометрии

Классификатор стереометрии: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Спрятать решение