Ре­ше­ние. При пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Тогда вто­рое урав­не­ние дает Итак, Те­перь решим си­сте­му при про­чих зна­че­ни­ях a. Вто­рое урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде Сразу от­ме­тим, что при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по­это­му также и Кроме того

Ответ: при от­ве­ты При от­ве­ты (слу­чай разо­бран в пер­вом пунк­те). При от­ве­ты

Ре­ше­ние. При пер­вое урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Те­перь решим си­сте­му при про­чих зна­че­ни­ях a. Вто­рое урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде

Ответ:

1) (−3; 0,25);

2) якщо то розв'язком си­сте­ми є (−3; 0,25); якщо то розв'яз­ка­ми си­сте­ми є (−3; 0,25) та

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Для того, чтобы дан­ная си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, урав­не­ние (*) долж­но иметь корни, ровно два из ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству

По­ло­жим Тогда урав­не­ние (*) при­ни­ма­ет вид Это урав­не­ние имеет два раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня при Таким об­ра­зом, от­ку­да Так как а то а

Не­ра­вен­ство при вы­пол­не­но для всех по­сколь­ку левая часть не­ра­вен­ства боль­ше 1, а пра­вая мень­ше 1. Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при от­ку­да

Ответ:

1)

2)

Ре­ше­ние. Решим си­сте­му при

Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы.

При при под­ста­нов­ке в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся квад­рат­ные урав­не­ния. Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое из этих урав­не­ний имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы.

При x  =  1 по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет ровно два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

При по­лу­ча­ем:

Это квад­рат­ное урав­не­ние имеет два корня при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те:

Пара чисел (1;1) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы при то есть a  =  −3.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 4 ре­ше­ния при

Ответ:

1)

2)

Ре­ше­ние. Решим си­сте­му урав­не­ние при

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му

За­ме­тим, что если яв­ля­ет­ся кор­нем пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы, то ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы яв­ля­ют­ся две пары чисел и Зна­чит, си­сте­ма будет иметь ровно 4 ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда дис­кри­ми­нант пер­во­го урав­не­ния по­ло­жи­те­лен, и не яв­ля­ет­ся кор­нем пер­во­го урав­не­ния. По­лу­ча­ем:

Ответ:

1)

2)

Ре­ше­ние. Решим си­сте­му урав­не­ний при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда гра­фи­ки функ­ций и и пря­мая имеют с пря­мой три раз­лич­ных точки пе­ре­се­че­ния на об­ла­сти (см. рис.).

Из ри­сун­ка видно, что при два ре­ше­ния, при одно ре­ше­ние, при два ре­ше­ния, при три ре­ше­ния, при че­ты­ре ре­ше­ния, при три ре­ше­ния, при че­ты­ре ре­ше­ния.

Ответ:

1)  

2)  

Ре­ше­ние. Воз­во­дим пер­вое урав­не­ние в квад­рат, на­хо­дим, что y  =  2x, под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чим

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. По­сколь­ку урав­не­ние y  =  2x уста­нав­ли­ва­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между пе­ре­мен­ны­ми, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы равно ко­ли­че­ству кор­ней урав­не­ния (⁎).

Пусть За­ме­тим, что

Усло­вие за­да­чи будет вы­пол­не­но, если будет вы­пол­не­но одно из усло­вий:

— вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не имеет ре­ше­ний;

— корни обоих урав­не­ний со­во­куп­но­сти равны;

— ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8.

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Если то

Корни урав­не­ний со­во­куп­но­сти сов­па­да­ют, если

Ко­рень вто­ро­го урав­не­ния со­во­куп­но­сти не боль­ше −8, если

Объ­еди­няя все слу­чаи, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет не более трех ре­ше­ний при или при

Ответ:

1)  

2)  

Ре­ше­ние. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Изоб­ра­зим в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. Это мно­же­ство точек од­но­вре­мен­но ле­жа­щих не выше пря­мой не выше пря­мой и не ниже па­ра­бо­лы

Оста­лось опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок дли­ной 2 (см. рис.). Най­дем абс­цис­сы кон­цов верх­не­го от­рез­ка: Абс­цис­сы кон­цов ниж­не­го от­рез­ка най­дем из урав­не­ния по­лу­чим Раз­ность абс­цисс кон­цов от­рез­ков долж­на быть равна двум, имеем:

Ответ:

1)  

2)   или