Сразу от­ме­тим, что иначе ло­га­рифм не опре­де­лен. Кроме того, зна­ме­на­тель не дол­жен быть нулем. Решим урав­не­ние

Такие зна­че­ния x за­пре­ще­ны. При усло­вии можно пе­ре­пи­сать усло­вие в виде

Пер­вый ко­рень будет при усло­вии а вто­рой — при усло­вии то есть и, кроме того,

Ответ:

— при

— при нет ре­ше­ний;

— при

— при нет ре­ше­ний.

Решим не­ра­вен­ство:

По­сколь­ку для всех зна­че­ний x, по­лу­ча­ем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

Для того, чтобы любое зна­че­ние x удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния x, то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

Ответ:

1)

2)

До­мно­жим не­ра­вен­ство на По­лу­чим:

При по­лу­ча­ем что верно толь­ко при При таких x мно­жи­тель не­от­ри­ца­те­лен, оста­ет­ся лишь вы­яс­нить, для каких из этих зна­че­ний x будет все­гда не­от­ри­ца­те­лен и вто­рой мно­жи­тель, рав­ный Ясно, что при он все­гда не­от­ри­ца­те­лен, а при долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие то есть

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния при Имеем:

Зна­чит, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при и по­ло­жи­тель­на при Итак, наи­мень­шее зна­че­ние будет при и равно

Итак, если то можно взять и усло­вие на­ру­шит­ся. А если то вто­рая скоб­ка будет по­ло­жи­тель­на при любом a. Итак, нужно чтобы Окон­ча­тель­но:

Ответ:

1)  

2)  

Решим урав­не­ние при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кращённого умно­же­ния:

Изоб­ра­зим ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы на плос­ко­сти xOa. Гра­фи­ком си­сте­мы (изоб­ра­же­но синим) будет со­во­куп­ность двух пря­мых ис­клю­чая точки, ко­то­рые лежат на пря­мых а имен­но: точки

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при

Ответ:

1)  

2)  

Решим урав­не­ние при

Вер­нем­ся ко вто­ро­му пунк­ту. В си­сте­ме ко­ор­ди­нат хOa изоб­ра­зим окруж­ность, за­да­ва­е­мую урав­не­ни­ем все точки ко­то­рой об­ра­ща­ют чис­ли­тель дроби в нуль, и па­ра­бо­лу точки ко­то­рой со­от­вет­ству­ют нулям зна­ме­на­те­ля.

Под­став­ляя в урав­не­ние и решая по­лу­чен­ное урав­не­ние, най­дем точки пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и па­ра­бо­лы: и   — точка ка­са­ния. Для най­ден­ных точек чис­ли­тель и зна­ме­на­тель об­ра­ща­ют­ся в нуль од­но­вре­мен­но.

Сле­до­ва­тель­но, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда

Ответ:

1)  

2)  

При­ве­дем ре­ше­ние То­фи­га Али­е­ва.

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния, если чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, а зна­ме­на­тель не равен 0. Чис­ли­тель имеет два раз­лич­ных корня, если дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен:

Ис­клю­чим зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых зна­ме­на­тель об­ра­ща­ет­ся в 0. Под­ста­вив в чис­ли­тель по­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но, чис­ли­тель и зна­ме­на­тель од­но­вре­мен­но об­ра­ща­ют­ся в ноль при x  =  0, x  =  −1 и x  =  2 при усло­вии или a  =  0, a  =  1 и a  =  4, и эти зна­че­ния па­ра­мет­ра а долж­ны быть ис­клю­че­ны.

Итак, за­дан­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния, когда