1. Ли­ней­ная функ­ция воз­рас­та­ет, по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние на про­ме­жут­ке [0; 5] она при­ни­ма­ет при наи­боль­шем зна­че­нии ар­гу­мен­та: Таким об­ра­зом, 1 —B.

2. Гра­фик функ­ции  — па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. На про­ме­жут­ке [0; 5] она убы­ва­ет. Свое наи­боль­шее зна­че­ние функ­ция будет при­ни­мать при наи­мень­шем зна­че­нии ар­гу­мен­та Таким об­ра­зом, 2 — Б.

3. Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  — . Таким об­ра­зом, 3 — А.

4. Функ­ция воз­рас­та­ет, по­это­му при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние на за­дан­ном про­ме­жут­ке. Имеем:

Таким об­ра­зом, 4 — Д.

Ответ: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д.

Из гра­фи­ка видно, что а все осталь­ные точки гра­фи­ка на­хо­дят­ся ниже этого уров­ня. Зна­чит, ответ 5.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Имеем:

1. Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность, центр ко­то­рой имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 4), сле­до­ва­тель­но, длина ра­ди­у­са дан­ной окруж­но­сти равна 2. Гра­фик дан­ной нам функ­ции не имеет общих точек с окруж­но­стью. Таким об­ра­зом, 1 — Г.

2. Из гра­фи­ка видим, что функ­ция воз­рас­та­ет на всем про­ме­жут­ке [1; 3]. По­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние на за­дан­ном про­ме­жут­ке будет равно ее зна­че­нию в на­чаль­ной точке за­дан­но­го про­ме­жут­ка. При функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние 2. Итак, 2 — Б.

3. Гра­фик функ­ции три­жды пе­ре­се­ка­ет пря­мую Итак, 3 — Д.

Ответ: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Решая урав­не­ние по­лу­чим

Ис­сле­дуя знак этого вы­ра­же­ния с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов, по­лу­чим при и при (функ­ция воз­рас­та­ет), при (функ­ция убы­ва­ет). При у функ­ции ми­ни­мум, при у функ­ции мак­си­мум,

За­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что функ­ция не­чет­на,

Ответ:

1) якщо то то то

2)

3)

4) и

5) Проміжки зрос­тан­ня: проміжок спа­дан­ня: [−1; 1]; точки екс­тре­му­му: екс­тре­му­ми:

6) см. рис.

По ри­сун­ку видим, что наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ция до­сти­га­ет при х = −4, оно равно 5.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Гра­фик функ­ции имеет вид Ответ — Б.

Функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма в точке (2; −1). Ответ — Д.

Функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской. Ответ — А.

Ответ: БДА.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Точки пе­ре­се­че­ния с осью OX дан­но­го гра­фи­ка  — это точки, абс­цис­сы ко­то­рых яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния от­ку­да и

При­ведём дан­ную функ­цию к виду

Функ­ция яв­ля­ет­ся ку­би­че­ским мно­го­чле­ном, по­это­му всюду опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет все ве­ще­ствен­ные зна­че­ния. Ее кор­ня­ми, оче­вид­но, будут и Асимп­тот гра­фик не имеет. Возь­мем про­из­вод­ную

что от­ри­ца­тель­но при и по­ло­жи­тель­но при или Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет на убы­ва­ет на и воз­рас­та­ет на При у фук­ции мак­си­мум, а при у функ­ции ми­ни­мум, причём Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, функ­ция вы­пук­ла вниз при и вверх при При у функ­ции точка пе­ре­ги­ба, Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Най­дем точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка ис­ход­ной функ­ции и пря­мой Для этого решим урав­не­ние:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции при и (нас ин­те­ре­су­ет толь­ко тре­тья чет­верть, по­это­му мы не рас­смат­ри­ва­ем). По­сколь­ку функ­ция вы­пук­ла вверх при ее гра­фик лежит выше се­ку­щей. По­это­му

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Вы­чис­лим сна­ча­ла про­из­вод­ную дан­ной функ­ции по­это­му Кроме того по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид или же   — ка­са­тель­ная го­ри­зон­таль­на.

Функ­ция f(x)  — ку­би­че­ский мно­го­член. Она опре­де­ле­на везде и при­ни­ма­ет все зна­че­ния. Она не­чет­ная. За­пи­сав ее в виде пой­мем, что ее корни и У нее нет асимп­тот. Ее про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при и при и по­ло­жи­тель­на при по­это­му cама функ­ция убы­ва­ет при и при и воз­рас­та­ет при Сле­до­ва­тель­но,   — ее точка мак­си­му­ма, а   — ее точка ми­ни­му­ма, Ее вто­рая про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при по­это­му функ­ция вы­пук­ла вверх при и вы­пук­ла вниз при Точка   — ее точка пе­ре­ги­ба, Оста­лось по­стро­ить гра­фик.

По­сколь­ку при функ­ция вы­пук­ла вверх, то ее гра­фик лежит ниже ка­са­тель­ной. По­это­му

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Возь­мем сна­ча­ла про­из­вод­ную ис­ход­ной функ­ции. По­лу­чим

Если ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс, то ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент (он же зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния) равен нулю. Урав­не­ние имеет толь­ко ко­рень −4, при этом

Зна­чит, урав­не­ние ка­са­тель­ной в этой точке имеет вид

Вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но на от­рез­ке и от­ри­ца­тель­но на от­рез­ке зна­чит, ис­ход­ная функ­ция воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние у нее а наи­боль­шее до­сти­га­ет­ся в одном из кон­цов от­рез­ка:

Ис­сле­ду­ем функ­цию на этом от­рез­ке чуть более по­дроб­но. За­пи­сав ее в виде по­лу­чим, что един­ствен­ный ее ко­рень это Фун­кия опре­де­ле­на на всем от­рез­ке, вер­ти­каль­ных асимп­тот не имеет. Мо­но­тон­ность ее была уже ис­сле­до­ва­на ран­нее. Оста­лась вы­пук­лость. Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную.

Что по­ло­жи­тель­но при всех по­это­му функ­ция вы­пук­ла вверх. Оста­лось по­стро­ить гра­фик.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Нужно ре­шить урав­не­ние от­ку­да

Зна­чит, точки пе­ре­се­че­ния с осью абс­цисc это Пер­вая за­од­но будет точ­кой пе­ре­се­че­ния с осью ор­ди­нат.

Возь­мем про­из­вод­ную функ­ции

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при или

Зна­чит убы­ва­ет при воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при

До­ба­вим еще не­сколь­ко пунк­тов в ис­сле­до­ва­ние. Из преды­ду­ще­го видно, что   — точка ми­ни­му­ма, а точка   — точка мак­си­му­ма функ­ции,

Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную, по­лу­чим что от­ри­ца­тель­но при и по­ло­жи­тель­но при Зна­чит, функ­ция вы­пук­ла вверх при и вы­пук­ла вниз при Точка будет точ­кой пе­ре­ги­ба, Функ­ция   — ку­би­че­ский мно­го­член. Она опре­де­ле­на везде и при­ни­ма­ет все зна­че­ния. Она не­чет­ная. У нее нет асимп­тот. Оста­лось по­стро­ить гра­фик.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на функ­ция чет­ная. Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси Oy. Решим урав­не­ние y  =  0:

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет оси ко­ор­ди­нат в точ­ках и Про­ме­жут­ки зна­ко­по­сто­янт­сва от­ме­тим на ри­сун­ке. Най­дем про­из­вод­ную:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках −2, 0 и 2. Изоб­ра­зим знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке. Функ­ция убы­ва­ет на и на воз­рас­та­ет на и на Ми­ни­му­мы до­сти­га­ют­ся в точ­ках −2 и 2:

мак­си­мум до­сти­га­ет­ся в точке 0: Гра­фик функ­ции изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Най­дем зна­че­ния функ­ции в ука­зан­ных точ­ках. Имеем:

Возь­мем сна­ча­ла про­из­вод­ную этой функ­ции. По­лу­чим

Если ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс, то ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент (он же зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния) равен нулю. Урав­не­ние имеет толь­ко ко­рень 4, при этом

Зна­чит, урав­не­ние ка­са­тель­ной в этой точке имеет вид

Вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но на от­рез­ке и по­ло­жи­тель­но на от­рез­ке зна­чит, ис­ход­ная функ­ция воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние у нее а наи­боль­шее до­сти­га­ет­ся в одном из кон­цов от­рез­ка:

в)  Ис­сле­ду­ем функ­цию на этом от­рез­ке чуть более по­дроб­но. За­пи­сав ее в виде по­лу­чим, что един­ствен­ный ее ко­рень это Функ­ция опре­де­ле­на на всем от­рез­ке, вер­ти­каль­ных асимп­тот не имеет. Мо­но­тон­ность ее была уже ис­сле­до­ва­на ран­нее. Оста­лась вы­пук­лость. Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную.