СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3556 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.3\. Иррациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента ,$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите уравнение при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно одно решение.

Решение. Решим уравнение при $a=0:$

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 конец аргумента равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате =x в степени 4 ,x в степени 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно x в квадрате =0 равносильно x=0.$ $корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 конец аргумента равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате =x в степени 4 ,x в степени 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате =0 равносильно x=0.$ $корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате =x в степени 4 ,x в степени 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате =0 равносильно x=0.$

Вернемся ко второму пункту. Преобразуем уравнение:

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате =x в степени 4 минус 4ax,x в степени 4 минус 4ax\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4ax минус 5a в квадрате =0,x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 5a,x=a, конец системы . x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0. конец совокупности .$ $корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате =x в степени 4 минус 4ax,x в степени 4 минус 4ax\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4ax минус 5a в квадрате =0,x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 5a,x=a, конец системы . x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0. конец совокупности .$

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является $x= минус 5a:$

$минус 5a левая круглая скобка левая круглая скобка минус 5a правая круглая скобка в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 равносильно 5a в квадрате левая круглая скобка 125a в квадрате плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0$   — верно при любых a.

Значит, $x= минус 5a$ является корнем уравнения при любых значениях a.

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является $x=a:$

$a левая круглая скобка a в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 равносильно a в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений a\leqslant минус 2,a=0 ,a\geqslant2. конец совокупности .$ $a левая круглая скобка a в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно a в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений a\leqslant минус 2,a=0 ,a\geqslant2. конец совокупности .$